Question

решите уравнение : a)sinx+cosx=1

b)2cos^2x+sin4x=1

d)sinx-cosx=1

h)2cos^2x-sin4x=1

Answer 1

$a)~ sin x+cos x=1\ \ sqrt{2} sin (x+ frac{pi}{4} )=1\ \ sin(x+frac{pi}{4} )= frac{1}{sqrt{2}} \ \ x+frac{pi}{4} =(-1)^kcdotfrac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}\ \ x=(-1)^kcdot frac{pi}{4} -frac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}$


$b)~ 2cos^2x+sin 4x=1\ \ 1+cos 2x+2sin2xcos2x=1\ \ cos 2x(1+2sin2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$cos2x=0;~~~ x_1=frac{pi}{4} +frac{pi n}{2} ,n in mathbb{Z}\ \ sin2x=-0.5;~~~~ x_2=(-1)^{k+1}cdotfrac{pi}{12} +frac{pi k}{2} ,k in mathbb{Z}$


$d)~ sin x-cos x=1\ \ sqrt{2}sin (x-frac{pi}{4} )=1\ \ x-frac{pi}{4} =(-1)^kcdotfrac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}\ \ x=(-1)^kcdotfrac{pi}{4} +frac{pi}{4} +pi k,k in mathbb{Z}$


$h)~ 2cos^2x-sin 4x=1\ \ 1+cos2x-2sin2xcos2x=1\ \ cos2x(1-2sin2x)=0\ \ \ left[begin{array}{ccc}cos2x=0\ \ sin2x=0.5end{array}right~~~~Rightarrow~~~ left[begin{array}{ccc}x_1=frac{pi}{4}+frac{pi n}{2},nin mathbb{Z}\ \ x_2=(-1)^kcdotfrac{pi}{12}+frac{pi k}{2},k in mathbb{Z} end{array}right$