Question

В окружности с радиусом= корень из 6ти проведена хорда MN и диаметр MP. В точке N проведена касательная к окружности,которая пересекает продолжение отрезка MP в точке Q под углом 60градусов. Найти медиану QD в треугольнике MQN.

Answer 1

Пусть O — центр окружности. Предположим, что точка Q лежит на продолжении диаметра MP за точку P. Из прямоугольного треугольника ONQ находим, что 
QN = ON· ctg60 =$sqrt{6}$ ·$sqrt{3} /3$ = $sqrt{2}$, OQ=2NQ =2. 
Тогда QM=MO+OQ=$sqrt{6}$+2$sqrt{2}$. По теореме о внешнем угле треугольника 
 MON =90+60 =150 градусов
По теореме косинусов из равнобедренного треугольника MON находим, что 
MN2= OM2+ON2-2OM· ON cos150=6+6+2·6· $sqrt{3} /2$=12+6$sqrt{3}$. 
По формуле для медианы треугольника 
QD2=1/4 (2QN2+2QM2-MN2)= 1/4(2·2+2($sqrt{6}$+2$sqrt{2}$)2-12-6$sqrt{3}$)=1/4(20+10$sqrt{3}$). 
Следовательно, 
QD = 1/2 $sqrt{20+10 sqrt{3} }$=$sqrt{5+5 sqrt{3}/2 }$