Question

1. $sqrt{x + 3} + sqrt{x-2} = 5$

2. Какими должны быть стороны прямоугольника с периметром 24 см, что бы его площадь приобрела наибольшего значения?

3. При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = $frac{8}{x}$ и прямыми y=0, x=2, x=8, пополам? 

4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = 0,5$x^{2}$ - 3, в точке $x_{0}$ = 2.

Answer 1

$1)\ sqrt{x+3}+sqrt{x-2}=5\ sqrt{x+3}=5-sqrt{x-2}\ x+3=(5-sqrt{x-2})^2\ x+3=23+x-10sqrt{x-2}\ -20=-10sqrt{x-2}\ 2=sqrt{x-2}\ 4=x-2\ x=6$
$2)$ Пусть стороны равны  $x;y$ 
 $x+y=12\ S=xy$
$x=12-y\ S=y(12-y)$ рассмотрим функцию 
 $S(y)=12y-y^2\ S'(y)=12-2y\ S'(y)=0\ y=6\ S(6)=6*6=36$ 
стороны должны быть равны $6;6$ 
$3)$ 
$intlimits^8_2 {frac{8}{x}} , dx =8lnx=8ln8-8ln2 |_{2}^8=8ln4\\ intlimits^8_a {} frac{8}{x}, dx=8lnx=8ln8-8lna=4ln4\ intlimits^a_2 {frac{8}{x}} , dx =8lnx=8lna-8ln2=4ln4\\ 8ln8-8lna=4ln4\ a=4$
 Ответ $x=4$
$4)\ f(x)=0.5x^2-3\ f(2)=-1\ f'(x)=x\ f'(2)=2\ y=-1+2(x-2)=2x-5$ 
  Ответ $k=2$

Answer 2

1)ОДЗ  x+3≥0⇒x≥-3 U x-2≥0⇒x≥2⇒х∈[2;≈)
x+3+2√(x+3)(x-2) +x-2=25
2√(x+3)(x-2)=24-2x
√(x+3)(x-2)=12-x
x²+x-6=144-24x+x²
25x=150
x=6
2)х-1сторона,12-х-2сторона
S(x)=(12-х)x=12x-x²
s`(x)=12-2x=0⇒x=6
             +                    -
________________________
                       6
                     max
Стороны по 6см.
3)S(от 2 до а)8dx/x=S(от a до 8)8dx/x
8lnx(от 2до а)=8lnx(от aдо 8)
8lna-8ln2=8ln8-8lna
lna-ln2=ln8-lna
2lna=ln8+ln2
lna²=ln16
a²=16⇒a=4 U a=-4- не удов усл
4)k=f`(x0)=
f`(x)=x
k=2