Question

Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений будет иметь единственное решение:
$left { {{ x^{2} + (y-4)^{2}=16 } atop { sqrt{ x^{2} + (y-12)^{2} }+ sqrt{ (x-a)^{2}+ y^{2} }= sqrt{ a^{2}+144 } }} right.$

Answer 1

Можно решать задачу из соображений расположений графиков.   Но можно так  
 Преобразуем второе уравнение 
$sqrt{x^2+(y-12)^2}+sqrt{(x-a)^2+y^2}=sqrt{a^2+144}\\ x^2+(y-12)^2+(x-a)^2+y^2+2sqrt{(x^2+(y-12)^2)((x-a)^2+y^2)}=\ a^2+144\\ sqrt{(x^2+(y-12)^2)((x-a)^2+y^2)}=-x^2+y^2-12y-ax\\ (x^2+(y-12)^2)((x-a)^2+y^2)=(-x^2+y^2-12y-ax)^2\\ ay+12x-12a=0\\ y=12-frac{12x}{a}\\ a neq 0$
подставляя во второе уравнение 
 $(a^2+144)x^2+192ax+48a^2=0\\ D=0\\ D=192a^2*(48-a^2)=0\\ a neq 0\\ a=+/-4sqrt{3}$

Так же можно решить , за счет симметрий уравнения