Question

1. Упростите выражение:
 а) sin 10a
    2sin²5a 
б)      cos6a      
 cos 3a+sin 3a

в) (sin a +cos a)² 
    1+sin 2a
г) 2sin² a +cos a
           2
2. Найдите значение выражения:
 а) cos²  π  ₋₋₋ sin²   π 
           12            12
б) 2cos²75°-1
в)4sin π · cos π
         8          8
3. Решите уравнение: а)sin x cos (-x)=-√3 
                                                            4

б) cos 2x+9 sin x+4=0
.            

Answer 1

$1); a); frac{sin10a}{2sin^25a}=frac{2sin5acdot cos5a}{2sin^25a}=frac{cos5a}{sin5a}=ctg5a\\b); frac{cos6a}{cos3a+sin3a}=frac{cos^23a-sin^23a}{cos3a+sin3a}=frac{(cos3a-sin3a)(cos3a+sin3a)}{cos3a+sin3a}=\\=cos3a-sin3a=cos3a-cos(frac{pi}{2}-3a)=\\--2sinfrac{pi}{4}sin((3a-frac{pi}{4})=-sqrt2sin(3a-frac{pi}{4})\\c); frac{(sina+cosa)^2}{1+sin2a}=frac{(sin^2a+cos^2a)+2sinacosa}{1+sin2a}=frac{1+sin2a}{1+sin2a}=1\\d); 2sin^2frac{a}{2}+cosa=2sin^2frac{a}{2}+(1-2sin^2frac{a}{2})=1$

$2); cos^2frac{pi}{12}-sin^2frac{pi}{12}=cosfrac{pi}{6}=frac{sqrt3}{2}\\4sinfrac{pi}{8}cdot cosfrac{pi}{8}=2sinfrac{pi}{4}=2frac{sqrt2}{2}=sqrt2\\2cos^275^0-1=2cos^275^0-(sin^275^0+cos^275^0)=cos^275^0-sin^275^0=\\=cos150^0=cos(180^0-30^0)=-cos30^0=-frac{sqrt3}{2}\\3); sinxcos(-x)=-frac{sqrt{3}}{4}\\cos(-x)=cosx\\sinxcdot cosx=-frac{sqrt3}{2}\\frac{1}{2}sin2x=-frac{sqrt3}{4}\\sin2x=-frac{sqrt3}{2}$

$2x=(-1)^{n}cdot (-frac{pi}{3})+pi n=(-1)^{n+1}frac{pi}{3}+pi n,nin Z\\b); cos2x+9sinx+4=0\\cos2x=cos^2x-sin^2x=(1-sin^2x)-sin^2x=1-2sin^2x\\1-2sin^2x+9sinx+4=0\\2sin^2x-9sinx-5=0\\D=81+40=121\\(sinx)_1=frac{9-11}{4}=-frac{1}{2}$

$x=(-1)^{n}(-frac{pi}{6})+pi n=(-1)^{n+1}frac{pi}{6}+pi n,nin Z\\(sinx)_2=frac{9+11}{4}=5>1; net; reshenij$