Question

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник  с основанием 16 см и боковой стороной, равной 10 см

Answer 1

Пусть данный треугольник АВС, где АС - основание, которое равно 16 см, а АВ и ВС - стороны по 10 см каждая. В него вписана окружность с центром О. Из  вершины В опустим на основание АС перпендикуляр ВД. Т.к. треугольник АВС равнобедренный, то точка Д делит сторону АС пополам, т.е. АД=ДС=16/2=8 см. Мы можем найти длину перпендикуляра ВД (по теореме Пифагора):
ВД=√(ВС²-ДС²)=√(10²-8²)=√(100-64)=√36=6 см.
Т.к. перпендикуляр ВД проходит через центр окружности О, то точка О делит отрезок ВД на два отрезка ВО и ОД, причем ОД - радиус окружности, примем его за х, т.е. ОД=х, в этом случае ВО=6-х.
Опустим из центра окружности О перпендикуляр  ОК на сторону ВС, ОК также является радиусом и равен х. Таким образом, мы имеем два прямоугольных треугольника СКО и СДО. Т.к. они имеют общую гипотенузу СО и равные катеты ОК и ОД, то катет КС=ДС=8 см. Теперь  мы можем вычислить длину отрезка ВК
ВК=ВС-КС=10-8=2 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ВКО:
ВК=2,  КО=х, ВО=6-х. Составим уравнение по теореме Пифагора:
ВО²=ВК²+КО²
(6-х)²=2²+х²
36-12х+х²=4+х²
12х=32
х=2,6666