Question

Пожалуйста, решите хотя-бы одну задачу:
№1) Доказать, что существует член последовательности Фибоначчи, делящийся на 2014.
№2) Доказать, что $(C_{n}^0)^2+(C _{n}^1)^2+...+ (C_{n}^{n-1})^2=C_{2n}^n$
№3) НОД $(2^n-1, 2^m-1)=?$
№4) Найти сумму квадратов корней уравнения:
        $(x^2+2x)^2-1993(x^2+2x)+1995=0$

Answer 1

4)$(x^2+2x)^2-1993(x^2+2x)+1995=0\\ x^4+4x^3-1989x^2-3986x+1995=0$
 по теореме Виета для  уравнения четвертой степени , корни уравнения  связаны с отношением 
$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-frac{4}{1}\\ x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{4}=-frac{-1989}{1}$
 Возведем первое в квадрат 
 $(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^2=\ x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{4}^2+2(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{3}x_{4})$ 
 Откуда квадраты 
$(-4)^2+1989*2=3994$ 
  Ответ $3994$
2)$(C^0_n)^2+(C^1_{n})^2+...+(C^{n-1}_{n})^2=\\ c^0_{n}=frac{n!}{n!}=1\\ C_{n}^1=frac{n!}{(n-1)!}=n\\ C^2_{n}=frac{n!}{4(n-2)!}=frac{n(n-1)}{4}...\\ frac{n!}{n!}^2+frac{n!}{(n-1)!}^2+frac{n!}{4(n-2)!}^2+.....+=$
 что не верно