Question

помогите решить задание по лимесу

Answer 1

1) $lim_{n to infty} {n[ln(n+1)-ln(n)]}=lim_{n to infty}{n[ln(n(1 + frac{1}{n})-ln(n))]}$

$lim_{n to infty}{n[ln(n(1 + frac{1}{n})-ln(n))]}=lim_{n to infty}{n[ln(n) + ln(1 + frac{1}{n})-ln(n))]}</var>$

$lim_{n to infty}{n[ln(n) + ln(1 + frac{1}{n})-ln(n))]}=lim_{n to infty}{n[ln(1 + frac{1}{n})]}$

$lim_{n to infty}{n[ln(1 + frac{1}{n})]}=lim_{n to infty}{[ln(1 + frac{1}{n})^n]} = lim_{n to infty}[lne] = 1$

Здесь нужно использовать второй замечательный предел

$lim_{n to infty}{ln(1 + frac{1}{n})^n} = e$

 

2) $lim_{x to +infty}{frac{sqrt{x^2-3}}{sqrt[3]{x^3+1}}}= lim_{x to +infty}{frac{xsqrt{1-frac{3}{x^2}}}{xsqrt[3]{1+frac{1}{x^3}}}}=lim_{x to +infty}{frac{sqrt{1-frac{3}{x^2}}}{sqrt[3]{1+frac{1}{x^3}}}}=1$

 

3) $lim_{alpha to infty}{frac{ln(1+e^alpha)}{alpha}}=lim_{alpha to infty}{frac{lne^alpha(1+frac{1}{e^alpha})}{alpha}}=lim_{alpha to infty}{frac{ln(e^alpha)+ln(1+frac{1}{e^alpha})}{alpha}}$

$lim_{alpha to infty}{frac{ln(e^alpha)+ln(1+frac{1}{e^alpha})}{alpha}}=lim_{alpha to infty}{frac{alpha*ln(e)}{alpha}}=1$