Question

cos2x+sin^2x=0,25

 

+ отобрать корни на отрезке [3pi;9pi/2]

Answer 1

Распишем cos2x как 1-2sin²x

 

1-2sin²x+sin²x=0,25

-sin²x=-0,75

sin²x=0,75

sin²x=$frac{3}{4}$

sinx=$sqrt{frac{3}{4}}$

sinx=$frac{sqrt{3}}{2}$

sinx=a

x=(-1)$^{n}$arcsina+πn n принадлежит z

x=(-1)$^{n}$·$frac{pi}{3}$+πn n принадлежит z

 

sinx=$frac{sqrt{3}}{2}$

x=$frac{pi}{3}+2pi$n n принадлежит z

x= $frac{2pi}{3}$+2πn n принадлежит z

 

К твоему отрезку принадлежит только первый корень 

x=(-1)$^{n}$·$frac{pi}{3}$+πn n принадлежит z

 

Answer 2

$cos2x+sin^2x=0.25;$

$cos^2x-sin^2x+sin^2x=frac{1}{4};$

$cos^2x=frac{1}{4};$

$<span>a) cosx=frac{1}{2}; b) cosx=-frac{1}{2}</span>;$

$a) cosx=frac{1}{2};$

$<span>x=pmarccosfrac{1}{2}+2pi n, nin Z;</span>$

$<span>x=pmfrac{pi}{3}+2pi n, nin Z;</span>$

$b) cosx=-frac{1}{2};$

$<span>x=pmarccos(-frac{1}{2})+2pi n, nin Z;</span>$

$<span>x=pm (pi-frac{pi}{3})+2pi n, nin Z</span>;$

$<span>x=pmfrac{2pi}{3}+2pi n, nin Z;</span>$

Отбор корней на отрезке: $[3pi; frac{9pi}{2} ];$

$<span>a) x = pmfrac{pi}{3}+2pi n</span>;$
$1) x=frac{pi}{3}+2pi n, n(Z;$
$3pileqfrac{pi}{3}+2pi nleqfrac{9pi}{2};$

$3leqfrac{1}{3}+2nleqfrac{9}{2};$

$3-frac{1}{3}leq 2n leq frac{9}{2}-</span><span>frac{1}{3};$

$frac{8}{3}leq 2n leq frac{25}{6};$

$16leq12nleq25;$
$n=2;$
$x=frac{pi}{3}+2pibullet2= frac{13pi}{3};$

$2) x=-frac{pi}{3}+2pi n, nin Z;$

$3pi leq-frac{pi}{3}+2pi nleqfrac{9pi}{2};$

$3leq-frac{1}{3}+2nleqfrac{9}{2};$

$20leq12nleq29;$
$n=2;$
$x=-frac{pi}{3}+2pibullet2 = -frac{pi}{3}+4pi = frac{11pi}{3};$

$b) x=pm frac{2pi}{3}=2pi n, nin Z;$

$1) x=frac{2pi}{3}+2pi n, nin Z;$

$3pileqfrac{2pi}{3}+2pi nleqfrac{9pi}{2};$

$3leqfrac{2}{3}+2nleqfrac{9}{2};$

$18leq4+12nleq27;$

$14leq12nleq23;$
нет таких $<span><span><span>nin Z.</span>$

$2) x=-frac{2pi}{3}+2pi n, nin Z;$

$3pileq-frac{2pi}{3}+2pi nleqfrac{9pi}{2};$

$3leq-frac{2}{3}+2 nleqfrac{9}{2};$

$22leq12nleq31;$
$n= 2;$

$x=-frac{2pi}{3}+2pi*2=-frac{2pi}{3}+4pi=frac{10pi}{3};$

Ответ: $1)x=бfrac{pi}{3}+2pi n,$ $x=бfrac{2pi}{3}+2pi n, nin Z;$
$2) x=frac{10pi}{3},$
$x=frac{11pi}{3},$
$x=frac{13pi}{3}.$