Question

Произведение двух положительных чисел равно 484.Найдите эти числа,если известно,что их сумма принимает наибольшее значение.

Answer 1

Пусть x,y - положительные числа, т.е. x>0 и y>0. Произведение этих чисел : xy и равно 484

xy = 484  откуда  y = 484/x

x + y = x + 484/x $to~~max$

Нужно найти наибольшее значение функции:

$S(x)=x+dfrac{484}{x}$

Вычислим производную функции:

$S'(x)=bigg(x+dfrac{484}{x}bigg)'=1-dfrac{484}{x^2}\ \ \ S'(x)=0;~~~~ 1-dfrac{484}{x^2}=0~~~~Leftrightarrow~~~ x^2=484~~~Leftrightarrow~~~ x=pm 22$

(0)____+_____(22)____-_____

Производная функции в точке x=22 меняет знак с (+) на (-), значит x=22 - локальный максимум

$y=dfrac{484}{x}=dfrac{484}{22}=22$

Ответ: 22 и 22.