Question

Помогите с решением, пожалуйста

Решить уравнение:
cos2x+sin^2x=0,75
Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2] .

Answer 1

Начнем с того, что cos2x=cos^2(x)-sin^2(x)  и 0.75=3/4

 

$cos^2(x)-sin^2(x)+sin^2(x)= frac{3}{4}$

Видим, что можно сократить sin^2(x), что и проделаем

Получаем  

 $cos^2(x)=sqrtfrac{3}{4}$

Получаем:

$cos(x)=+_-frac{sqrt{3}}{2}$

отсюда$x=arccos(frac{sqrt{3}}{2})+frac{pi}{2}n$, где n пренадлежит Z (множеству целых чисел)

Т.е. $x=frac{pi}{6}+frac{pi}{2}n$ 

Поскольку рассматриваем только отрезок [π ; 5π/2], то берем только n при которых решение будет лежать в данном отрезке.

Решим 2 уравнения, с помощью которого найдем удовлетворяющие нас n,

 

1 уравнение будет иметь вид:

 $frac{pi}{6}+frac{pi}{2}*n=pi \ \ frac{pi}{2}*n=frac{5pi}{6} \ \ n=frac{5pi}{6}*frac{2}{pi}=frac{5}{3}=1frac{2}{3}$ 

Т.к n является целым числом, нужно округлить получившийся результат до целого числа, округление производится в бОльшую сторону, т.к. это начало отрезка, получаем n=2

 2 уравнение будет иметь вид:

  $frac{pi}{6}+frac{pi}{2}*n=frac{5pi}{2} \ \ frac{pi}{2}*n=frac{14pi}{6} \ \ n=frac{14pi}{6}*frac{2}{pi}=frac{14}{3}=4frac{2}{3}$

Здесь округляем в мЕньшую сторону, т.к это конец отрезка и получаем n=4.

 

Ответ:  $x=frac{pi}{6}+frac{pi}{2}n$ где n=2,3,4

Answer 2

cos2x+sin²x = 0,75

cos²x - sin²x + sin²x = 0.75

cos²x = 0.75

cosx = ±√0.75 = ±0.5√3

1) cosx = -0.5√3

x₁ = 5π/6 + 2πn

x₂ = -5π/6 + 2πn

n =1 x₁ = (2 + 5/6) π               x∉[π; 5π/2]  

       x₂ = (2- 5/6) π = 7π/6       x∈[π; 5π/2]  

n =2 x₁ = (4 + 5/6) π                x∉[π; 5π/2]  

       x₂ = (4- 5/6) π                  x∉[π; 5π/2]   

 

2) cosx = 0.5√3

x₁ = π/6 + 2πn

x₂ = -π/6 + 2πn

n =1 x₁ = (2 + 1/6) π = 13π/6    x∈[π; 5π/2]  

       x₂ = (2 - 1/6) π = 11π/6      x∈[π; 5π/2]  

n =2 x₁ = (4 + 1/6) π                  x∉[π; 5π/2]  

       x₂ = (4- 1/6) π                    x∉[π; 5π/2]

Ответ:   x = 7π/6;  11π/6;  13π/6