Question

sqr(х* корень пятой стапени(х))- корень 5 степени(х*sqr(х))=56

Answer 1

Перейдем в исходном уравнении от корней  к степеням с дробным показателем, тогда уравнение примет вид:

$(x*x^{frac{1}{5}})^{frac{1}{2}}-(x*x^{frac{1}{2}})^{frac{1}{5}}=56$

 

В получившемся уравнении перемножим степени в скобках как степени с одинаковым основанием, получим в результате равносильное уравнение:

     $(x^{frac{6}{5}})^{frac{1}{2}}-(x^{frac{3}{2}})^{frac{1}{5}}=56$ 

 

Отсюда по свойству степеней получим равносильное уравнение, применив свойство степень в степени:

   $x^{frac{3}{5}}-(x^{frac{3}{5}})^{frac{1}{2}}=56$ 

Сделаем замену  в последнем уравнении:    $y=x^{frac{3}{5}}$ 

 Тогда последнее уравнении примет вид:

      $y-56=sqrt{y}$ -------(1)

 

Замечаем, что новая неизвестная $y$ должна удовлетворять условию:

      $y>56$--------(2)  что следует из уравнения (1)

 Возведем обе части уравнения в квадрат, после приведя подобные, получим квадратное уравнение:

          $y^{2}-113y+56^{2}=0$ 

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета:

         $y_{1}+y_{2}=113$

            $y_{1}*y_{2}=56^{2}=(8*7)^{2}=64*49$ 

Отсюда получим искомые корни:

        $y_{2}=49$

При этом корень $y_{2}$ посторонний, поскольку не удовлетворяет не равенству (2). Таким образом, исходное уравнение имеет один корень:

   Вернем к старой неизвестной, получим:

        

 $<var>y_{1}=x^{frac{3}{5}}</var>=64=4^{3}$, отсюда $<var>x^{frac{1}{5}}=4$, $y_{2}=49$

При этом корень $y_{2}$ посторонний, поскольку не удовлетворяет не равенству (2). Таким образом, исходное уравнение имеет один корень:

   Вернем к старой неизвестной, получим:

        

 $<var>y_{1}=x^{frac{3}{5}}</var>=64=4^{3}$, отсюда $</var>y_{1}=64$, $y_{2}=49$

При этом корень $y_{2}$ посторонний, поскольку не удовлетворяет не равенству (2). Таким образом, исходное уравнение имеет один корень:

   Вернем к старой неизвестной, получим:

        

 $<var>y_{1}=x^{frac{3}{5}}</var>=64=4^{3}$, отсюда $<var>x^{frac{1}{5}}=4$

     $<var>x=4</var>^{5}=1024" title="<var>x^{frac{1}{5}}=4" /></var></p> <p>     [tex]<var>x=4</var>^{5}=1024" alt="<var>x^{frac{1}{5}}=4" /></var></p> <p>     [tex]<var>x=4</var>^{5}=1024" /> </p> <p> </p> <p>Ответ: [tex]<var>x</var>=1024$