Question

Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D (x+1)y^2dxdy D: y=3x^2, y=3

Answer 1

Для определения абсцисс концевых точек области В решим уравнения $y=3x^{2}$ и $y=3$ совместно, т.е. решим систему уравнений:

   $left { {{y=3x^{2},} atop {y=3.}} right.$, отсюда

      $3x^{2}=3$, или $x^{2}=1$  

 $x_{1}=-1$ и $x_{2}=1$ - искомые абсциссы

  Представим двойной интеграл в виде повторного:

  $intint{(x+1)y^{2}}, dxdy=$ 

  $=intlimits^{x_{2}}_{x_{1}} {x(intlimits^{3}_{3x^{2}} {y^{2}} , dy)} , dx=intlimits^{x_{2}}_{x_{1}} (x+1)[frac{1}{3}(27-27x^{6})]dx=$ 

   $=9intlimits^{1}_{-1}(x+1-x^{6}-x^{7})dx=9[frac{x^{2}}{2}+x-frac{x^{7}}{7}-frac{x^{8}}{8}]|limits^{1}_{-1}=$

 $=9[frac{1}{2}+1-frac{1}{7}-frac{1}{8}-frac{1}{2}+1-frac{1}{7}+frac{1}{8}]=frac{9(14-2)}{7}=15frac{3}{7}$