Question

Докажите, что при любом нечетном натуральном n число n^12-n^8-n^4+1 делится на 512.

Answer 1

Положим что  $n=2x+1\\ (2x+1)^{12}-(2x+1)^8-(2x+1)^4+1$
 заменим  $(2x+1)^4=y\\ y^3-y^2-y+1=(y-1)(y^2-1)=((2x+1)^4-1)((2x+1)^8-1)=\\ 2x(2x+2)((2x+1)^2+1)((2x+1)^2-1)((2x+1)^2+1)((2x+1)^4+1)\\ 2x(2x+2)((2x+1)^2+1)(2x)(2x+2)((2x+1)^2+1)((2x+1)^4+1)=\\ 128x^2(x+1)^2(2x^2+2x+1)^2(8x^4+16x^3+12x^2+4x+1)$ 
 так как $512=2^9\ 128=2^7$ 
 то либо число $x$ будет четное либо $x+1$ ,и того $2^2$ , а это   в произведений $2^7*2^2=2^9=512$ следовательно число делиться на $512$