Question

Найдите сумму целых решений неравенства $2^{3x+4}-10cdot4^{x}+2^{x}leq0$

Answer 1

2⁴·2^(3x ) - 10·2^(2x) + 2^x ≤ 0

Делаем замену: 2^x  = у     ОДЗ: у>0

16у³ - 10у² + у ≤ 0

разложим на множители функцию

z = 16у³ - 10у² + у

y(16у² - 10² + 1)

16у² - 10² + 1 = 0

D = 100 - 64 = 36

√D = 6

y₁ =(10 - 6):32 = 4/32 = 1/8

y₁ =(10 + 6):32 = 16/32 = 1/2

Решаем неравенство z = у(у - 1/8)(у - 1/2) ≤ 0 методом интервалов с учётом того, что у≠0

z(-1) <0,   z(1/16) > 0, z(3/16) < 0, z(1) >0

С учётом ОДЗ неравенство у(у - 1/8)(у - 1/2) ≤ 0 верно при у∈[1/8; 1/2]

Вспоминаем о замене 2^x  = у и получаем

2^x  = 1/8  ⇒  х = -3

2^x  = 1/2  ⇒  х = -1

Неравенство верно при х∈[-3; -1]

Целые решения этого неравенства: -3, -2, -1. Их сумма -6

Ответ: -6

 

с

Answer 2

$2^{3x+4}-10*4^x+2xleq0$

$2^{3x}*2^4-10*4^x+2^xleq0|:4^x (4^xneq0)$

$16*frac{2^{3x}}{4^x}-10*frac{4^x}{4^x}+frac{2^x}{4^x}leq0$

$16*(frac{2^3}{4})^x-10+(frac{2}{4})^xleq0$

$16*2^x-10+(frac{1}{2})^xleq0$

Пусть $2^x=t, t>0(*):$

$16t-10+frac{1}{t}leq0$

$frac{16t^2-10t+1}{t}leq0$

$tneq0$

$16t^2-10t+1=0$

$D=(-10)^2-4*16=100-64=36;$

$t_1=frac{10+sqrt{36}}{32}=frac{10+6}{32}=frac{1}{2},$

$t_2=frac{10-6}{32}=frac{1}{8}$

$16t^2-10t+1=16(t-frac{1}{2})(t-frac{1}{8})=0$

$frac{16(t-frac{1}{2})(t-frac{1}{8})}{t}leq0$

Пользуясь методом интервалов, получаем: $t<0$(не удоволетворяет условию (*)) и $frac{1}{8}leq tleqfrac{1}{2}$ (удов. усл. (*))

$frac{1}{8}leq 2^xleqfrac{1}{2}$

$frac{1}{2^3}leq 2^xleqfrac{1}{2^1}$

$2^{-3}leq 2^xleq2^{-1}$

$-3leq xleq-1$

$x=-2$

$-3leq-2leq-1$

Итак, целые решения неравенства: $-3, -2, -1.$

Их сумма: $-3+(-2)+(-1)=-6$

Ответ: сумма целых решений неравенства равна -6.