Question

Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 120°. Найдите:
а) длину дуги
б) площадь сектора ограниченного этой дугой и двумя радиусами

Answer 1

Дуга равна центральному углу, который на нее опирается
∠AOB = ∪AB = 120°
ΔAOB - образован хордой и двумя радиусами ⇒ равнобедренный
OM - высота, она же биссектриса и медиана  ⇒ AM = a/2
∠AOM = ∠BOM = 120°/2 = 60°

ΔAOM - прямоугольный
$sinAOM = frac{AM}{AO} \ \ sin60^o= frac{a/2}{R } \ \ R= frac{a}{2* frac{ sqrt{3} }{2}} = frac{a}{ sqrt{3} }$

Длина дуги
$L=2 pi R* frac{120}{360} = 2 pi frac{a}{ sqrt{3} }* frac{1}{3} = frac{2 pi a}{3 sqrt{3} }$

Площадь сектора  
$S = pi R^2* frac{120}{360} = pi frac{a^2}{3} * frac{1}{3} = frac{ pi a^2}{9}$