Question

 y=x+x^3/3!+…+x^2n+1/(2n+1)! найти рекурсивное соотношение a[n+1]/a[n]

Answer 1

$y=x+frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}+...+frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=$ 
Это  разложения в ряд Тейлора функций $y=sh(x)=frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 
Тогда  
 $a_{n}=frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ a_{n+1}=frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}\\ frac{a_{n+1}}{a_{n}}=frac{frac{x^{2n+3}}{(2n+3)!}}{frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\\ frac{x^2*(2n+1)!}{(2n+3)!}=frac{x^2}{2(n+1)(2n+3)}$