Question

В прямом параллелепипеде стороны основания равны 7 и 17 см; его диагонали образуют с плоскостью основания углы 45 и 30 градусов. Вычислить высоту параллелепипеда.

Answer 1

В основании параллелепипеда - параллелограмм со сторонами АВ=7см и АD=BC=17см.
В параллелограмме <B=180°-<A (так как углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°. Cos(180-α)=-Cosα (формула).
По теореме косинусов:
ВD²=АВ²+АD²-2*АВ*АD*CosA. Или ВD²=338-238*CosA.
АС²=АВ²+АD²+2*АВ*АD*CosA. Или АС²=338+238*CosA.
В прямоугольном треугольнике АСС1 угол САС1 при основании равен 30°(дано).
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть СС1/АС=√3/3, а СС1=АС*√3/3.
В прямоугольном треугольнике BDB1 угол BDB1 при основании равен 45°(дано).
Значит BB1=BD. ВВ1=СС1 = Н (высота параллелепипеда).
Н²=BD² (1)
H²=AC²(√3/3)²=АС²(1/3)  (2).
Приравняем (1) и (2):
338-238*CosA=(1/3)(338+238*CosA). Отсюда
1014-714CosA=338+238CosA и CosA=676/952=169/238.
Тогда из (1) имеем: Н=√(338-238*169/238)=√(338-169=13см.
Ответ: высота параллелепипеда равна 13см.