Question

Какая связь в словосочетание становиться личностью?

Answer 1

примыкание, не?
становиться(инф)неизм. часть речи

Answer 2

становиться (кем?) - личностью - управление.
главное - становиться 
зависимое - личностью
Во-первых, это падежный вопрос - Тв.падеж - значит уже управление.
Во-вторых, становлюсь личностью, стану личностью, стал личностью - главное меняется, а зависимое нет - значит, управление