Question

Около
трапеции KLMN
описана окружность, причём основание KN
является её диаметром. Известно, что KN=4,
LM=2. Хорда MT пересекает диаметр KN в точке S, причём KS:SN=1:3.
Найдите площадь треугольника STL.

Answer 1

  Так как по условию около трапеций можно описать окружность , то следовательно трапеций равнобедренная . 
Проведем  из  точки $O$-центра окружности радиус  к хорде   $LM$     .    Тогда угол  $LTM=30а$ так как она опирается на ту же дугу что центральный угол $LOM$ который равен ее половине $60а$ , так как $OL=OM=2=LM$ правильный треугольник . 
Заметим что $LS$ медиана     $KS=OS=1$ , треугольник $LSO$ прямоугольный, тогда    $LS=sqrt{2^2-1^2}=sqrt{3}$ . 
 По свойству хорд получаем 
 $TS*SM=KS*SM\ TS*SM=3\ SM=sqrt{2^2+sqrt{3}^2}=sqrt{7}$ 
          $TS=frac{3}{sqrt{7}}$  
 $TL^2+frac{9}{7}-2TL*frac{3}{sqrt{7}}cos30=3\ TL=frac{4sqrt{7}}{sqrt{3}}\ S_{STL} = frac{frac{4sqrt{7}}{sqrt{3}}*frac{3}{sqrt{7}}}{2}*frac{1}{2} = frac{3}{sqrt{3}}=sqrt{3}$