Question

$4^{cosx} + 4^{-cosx} = frac{5}{2}$

Указать корни принадлежащие отрезку $[-3 pi;-frac{3 pi}{2}]$

Сам решил, но у меня проблема (неуверенность) с выделением отрезка и собственно отсевом. 

Прошу решить полностью.

(у меня вышли $-frac{8 pi}{3} ; -frac{7 pi}{3}; - frac{5 pi}{3}$ ).

Спасибо.

Answer 1

4^cosx+4^(-cosx)=5/2
t=4^cosx
t+1/t=5/2
2t^2-5t+2=0
D=25-4*2*2=9
t1=2; t2=1/2
4^cosx=2
cosx=1/2 => x=+-pi/3+2pik
4^cosx=1/2 
cosx=-1/2 => x=+-2pi/3+2pik
для удобства объединяем эти 4 корня в 2
x=pi/3+pik; x=2pi/3+pik
для верности отбираем корни с помощью двойного неравенства
-3pi<=pi/3+pik<=-3pi/2
-3<=1/3+k<=-3/2
откуда целое k=-3; k=-2 => x=pi/3-3pi=-8pi/3; x=pi/3-2pi=-5pi/3
 -3<=2/3+k<=-3/2 => k=-3 => x=2pi/3-3pi=-7pi/3 

Answer 2

4^cos(x)=t
t+1/t=5/2
t=2 или t=1/2
t=2=4^cos(x) => cos(x)=1/2
t=1/2=4^cos(x) => cos(x)=-1/2
cos(x)=1/2 или cos(x)=-1/2  => x = pi/3+pi*k или x = -pi/3+pi*k
отрезку [-3pi;-3pi/2] принадлежат
pi*(1/3-3)=-8pi/3;pi*(1/3-2)=-5pi/3;pi*(-1/3-2)=-7pi/3