Question

какое число больше 1*2*3*.......*99 или 50^99

Answer 1

Если не использовать школьные методы 
Воспользуемся неравенством  которая образовывается при разложение в степенной ряд $n!$ с равным количество цифр
$n! leq sqrt{2pi*n}*(frac{n}{e})^n\\ 99! leq sqrt{198pi}*(frac{99}{e})^{99}\\ sqrt{198}>sqrt{196}>14\\ sqrt{pi}>1.7$
 Положим что               
$24*(frac{99}{e})^{99}<50^{99}\\ 24*frac{99^{99}}{e^{99}}<50^{99}\\ e=2.7\\ 24*37^{99}<50^{99}$
 то есть верно 
 
Ответ $50^{99}>99!$

 

     
         

 
 

Answer 2

 положим что           1*2*3*4......*99<50^99 
сгруппируем слева слагаемые так
50*(49*51)*(48*52)..........*(1*99)<50^99   Докажем что:       (49*51)*(48*52)*.......(1*99)<50^98
так как в cкобках числа равноудаленные от 50
каждую  такую пару  можно представить как
(50-n)(50+n)   когда n не не равно нулю это выражение   равно
50^2-n^2<50^2   когда n=0  50^2=50^2  тогда   тк всего 49 пар  (49*51)*(48*52)*.......(1*99)<50^49*2=50^98
Откуда   1*2*3*4......*99<50^99