Question

Пожалуйста, помогите!

Найти момент инерции шарового слоя малой толщины b<<R, где R-средний радиус слоя. Масса шарового слоя
равна m

Answer 1

Считаем, что шаровой слой =  разности двух шаров с радиусами r1 = r + b/2 и r2 = r - b/2 и плотностью, равной плотности шарового слоя.
1. Объём
$V=dfrac43pi(r_1^3-r_2^3)$
2. Плотность
$rho=dfrac mV$
3. Массы шариков
$m_1=dfrac43pirho r_1^3;quad m_2=dfrac43pirho r_2^3$
4. Момент инерции = разность моментов шариков
$I=dfrac25(m_1r_1^2-m_2r_2^2)=dfrac25cdotdfrac43pirho(r_1^5-r_2^5)=dfrac25mdfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}$
Осталось понять, как считать разности вида r1^n - r2^n.
$r_1^n-r_2^n=left(r+dfrac b2right)^n-left(r-dfrac b2right)^napprox left(r^n+dfrac n2r^{n-1}bright)-left(r^n-dfrac n2r^{n-1}bright)\ r_1^n-r_2^napprox nr^{n-1}b$
$I=dfrac25mdfrac{r_1^5-r_2^5}{r_1^3-r_2^3}approxdfrac25mdfrac{5r^4b}{3r^2b}=dfrac23mr^2$
В первом порядке I не зависит от b. Если надо, чтобы зависело (правда, непонятно, зачем) - учитывайте следующие члены в разложении по биному.

Answer 2

Нужно кое-что уточнить, можно?
Шаровой слой это ведь никак не разность двух шаров, значит вся задача целиком и полностью решена не правильно?
Шаровой слой - это часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, кажется

Answer 3

Хотя нет, сформулировано предложение первое только не верно, да?