Question

Найти промежутки монотонности функции y=(x^2-8)e^x

Answer 1

$f(x)=(x^2-8)e^x \ f'(x)=2xe^x+e^x(x^2-8) \ f'(x)=e^x(x^2+2x-8)=e^x(x-4)(x-2) \ f(2)=min_{xinmathbb{R}}|f(x)| f(-4)=max_{xinmathbb{R}}|f(x)| \ forall x_1,x_2in(-infty,-4) : x_1 <x_2 Rightarrow f(x_1)<f(x_2) \ forall x_1,x_2in(-4,2) : x_1 <x_2 Rightarrow f(x_2)<f(x_1) \ forall x_1,x_2in(2,infty) : x_1 <x_2 Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
Монотонность функции на промежутках, где $f'(x) neq 0$ следует из:
1. Если $lim_{x to x_0} frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x)>0$, получаем строго возрастающую функцию следуя из:
$\ x-x_0<0 land frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0 Rightarrow f(x)<f(x_0) Rightarrow\ forall x<x_0 land f'(x)>0 Rightarrow f(x)<f(x_0) \ \ x-x_0>0 land frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0 Rightarrow f(x)>f(x_0) Rightarrow\ forall x>x_0 land f'(x)>0 Rightarrow f(x)>f(x_0)$
2. Сторого убывающая доказывается тем-же способом.
Вместе (1) и (2) доказывают монотонность функции на промежутках $f'(x) neq 0$