Question

Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx

Answer 1

$intlimits^1_{-1} {x^3cos( pi x/4)} , dx$
Будем интегрировать по частям:
$intlimits^a_b {f} , dg=fg- intlimits^a_b {g} , df$, где:
$f=x^3\dg=cos( pi x/4)dx\df=3x^2dx\g=4sin( pi x/4)/ pi$
Тогда:
$intlimits^1_{-1} {x^3cos( pi x/4)} , dx =4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1-12/pi intlimits^1_{-1}{x^2sin( pi x/4)}dx$
Для интеграла $intlimits^1_{-1}{x^2sin( pi x/4)}dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$intlimits^a_b {f} , dg=fg- intlimits^a_b {g} , df$, где:
$f=x^2\dg=sin( pi x/4)dx\df=2xdx\g=-4cos( pi x/4)/ pi$
Тогда:
$4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1-12/pi intlimits^1_{-1}{x^2sin( pi x/4)}dx=\=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-96/ pi ^2 intlimits^1_{-1} {xcos( pi x/4)} , dx$
Для интеграла $intlimits^1_{-1} {xcos( pi x/4)} , dx$ используем также метод интегрирования по частям:
$intlimits^a_b {f} , dg=fg- intlimits^a_b {g} , df$, где:
$f=x\dg=cos( pi x/4)dx\df=dx\g=4sin( pi x/4)/ pi$
Тогда:
$4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-96/ pi ^2 intlimits^1_{-1} {xcos( pi x/4)} , dx=\=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}+\+384/ pi ^3 intlimits^1_{-1} {sin( pi x/4)} , dx$
Для интеграла $intlimits^1_{-1} {sin( pi x/4)} , dx$ воспользуемся заменой переменой: 
$u=sin( pi x/4)\du= pi dx /4$
Тогда:
$4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-\-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}+384/ pi ^3 intlimits^1_{-1} {sin( pi x/4)} , dx=$$=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-\-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}+1536/ pi ^4 intlimits^1_{-1} {sin(u)} , du=$$=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-\-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}-1536cos(u)/ pi ^4|^{pi/4}_{-pi/4}=\=4x^3sin( pi x/4)/ pi|_{-1}^1+48x^2cos( pi x/4)/ pi ^2|^1_{-1}-$$-384xsin( pi x/4)/ pi ^3|^1_{-1}-1536cos(pi x/4)/ pi ^4|^{1}_{-1}=\=4(pi x(pi ^2x^2-96)sin(pi x/4)+12(pi ^2x^2-32)cos(pi x/4))/pi ^4|^1_{-1}=$$=4(pi (pi ^2-96)sin(pi /4)+12(pi ^2-32)cos(pi /4))/pi ^4-\-4(-pi (pi ^2-96)sin(-pi /4)+12(pi ^2-32)cos(-pi /4))/pi ^4=\=4(pi (pi ^2-96)sin(pi /4)+12(pi ^2-32)cos(pi /4))/pi ^4-$$-4(pi (pi ^2-96)sin(pi /4)+12(pi ^2-32)cos(pi /4))/pi ^4=0$
Ответ:
$intlimits^1_{-1} {x^3cos( pi x/4)} , dx =0$