Question

Найти общее решение дифференциального уравнения
(1+x^2)y''+2xy'=7x^3

Answer 1

Слева стоит полная производная от (1 + x^2)y'

((1 + x^2) y')' = 7x^3
(1 + x^2) y' = 7x^4 / 4 + C/4
y' = (7x^4 / 4 + C/4) / (1 + x^2) = (7x^4 + C) / 4(1 + x^2)

Выделим целую часть в дроби.
$dfrac{7x^4 + C}{4(1 + x^2)}=dfrac{7x^2(1+x^2)-7x^2+C}{4(1+x^2)}=dfrac{7x^2}{4}-dfrac{(7x^2+7)-7-C}{4(1+x^2)}=dfrac{7x^2}{4}\-dfrac74+dfrac{C+7}{4(1+x^2)}$

Интегрируя, получим
y = 7x^3 / 12 - 7/4 x + ((C + 7) arctg x) / 4 + D = 7x^3 / 12 - 7/4 x + c1 arctg x + c2
c1, c2 - произвольные константы.