Question

Решите уравнение : корень из (х^2 - 16 )= х^2-22

Answer 1

$sqrt{(x^2-16)}=x^2-22 \ (x^2-16)=(x^2-22)^2 \ x^2-16=x^4-44x^2+484 \ x^4-45x^2+500=0 \ x^2=t \ t^2-45t+500=0 \ \ D=b^2-4ac=(-45)^2-4*1*500=2025-2000=25 \ \ t_{1}= frac{-b+ sqrt{D} }{2a} = frac{45+5}{2} =25 \ \ t_{2}= frac{-b- sqrt{D} }{2a} = frac{45-5}{2} =20 \ \ x^2=25, x_1=5,x_2=-5 \ \ x^2=20, x_3=2 sqrt{5},x_4=-2 sqrt{5}$

проверка:
$sqrt{(5^2-16)}=5^2-22 \ sqrt{(25-16)}=25-22 \ sqrt{9}=3 \ \ sqrt{((-5)^2-16)}=(-5)^2-22 \ sqrt{(25-16)}=25-22 \ sqrt{9}=3 \ \ sqrt{((2sqrt{5})^2-16)}=(2sqrt{5})^2-22 \ sqrt{((sqrt{20})^2-16)}=(sqrt{20})^2-22 \ sqrt{(20-16)}=20-22 \ sqrt{4}=2 \ \ sqrt{((-2sqrt{5})^2-16)}=(-2sqrt{5})^2-22 \ sqrt{((-sqrt{20})^2-16)}=(-sqrt{20})^2-22 \ sqrt{(20-16)}=20-22 \ sqrt{4}=2$

Answer 2

Дополнительное: (√a)²=a; (a-b)²=a²-2ab+b²

$sqrt{x^2-16} =x^2-22$


возведём до квадрата

$(sqrt{x^2-16})^2 =(x^2-22)^2$
$x^2-16=x^4-44x^2+484 \ x^4-44x^2-x^2+484+16=0 \ x^4-45x^2+500=0$

Пусть x² = t (t≥0), тогда имеем:

$t^2-45t+500=0$

Решаем через дискриминант

$a=1;b=-45;c=500 \ D=b^2-4ac=(-45)^2-4*1*500=2025-2000=25 \ sqrt{D} =5 \ t_1= frac{-b+ sqrt{D} }{2a} = frac{45+5}{2} =25; \ t_2= frac{-b- sqrt{D} }{2a} = frac{45-5}{2} = frac{40}{2} =20$

Обратная замена:

x²=25                           x²=20
x₁=5 или x₂=-5              x₃=√20 или x₄=-√20

Ответ: 5;-5;√20;-√20.