Question

Помогите пожалуйста

Применение интегралов.
Вычисление площадей фигур.
1. y=2+x -x^2 ; y=2-x 
2. y=cos2x ; y=0 ; -П/4 <или равно x <или равно П/4
3. y=5/x ; y=6-x
4. y=x ; y=2-x^2

Answer 1

1) $2+x- x^{2} =2-x$
$x^{2}+2-x-2-x=0$
$x^{2}-2x=0, x=0, x=2$ - точки пересечения графиков
$S= intlimits^2_0 {(2+x- x^{2} -2+x)} , dx=intlimits^2_0 {(2x- x^{2})} , dx= frac{2 x^{2} }{2} - frac{x^{3}}{3} |^{2}_{0}$ = $x^{2} - frac{x^{3}}{3} |^{2}_{0} =4- frac{8}{3} -0= frac{12-8}{3}= frac{4}{3}$

2) $S= intlimits^{ pi /4}_{- pi /4} {cos2x} , dx = frac{1}{2} intlimits^{ pi /4}_{- pi /4} {cos2x} , d(2x)= frac{sin2x}{2} |^{ pi /4}_{- pi /4}$ = $frac{sin(2* pi /4)}{2}- frac{sin(-2* pi /4)}{2} = frac{1}{2}+ frac{1}{2} =1$

3) Найдем точки пересечения графиков:
$frac{5}{x}=6-x$
$6x- x^{2} -5=0, x^{2} -6x+5=0$
$D=36-4*5=16$
$x_{1} = frac{6-4}{2}=1$
$x_{2} = frac{6+4}{2}=5$
$S= intlimits^5_1 {(6-x- frac{5}{x}) } , dx =6x- frac{x^{2}}{2} -5ln|x| |^{5}_{1}$ = $6*5- frac{25}{2} -5ln5-6*1+ frac{1}{2} +5ln1=30- frac{25}{2}-5ln5-6+ frac{1}{2}+0$ = $24-12-5ln5=12-5ln5$

4) $x=2- x^{2}$
$x^{2}+x-2=0, D=1+8=9$
$x_{1}= frac{-1-3}{2}=-2$
$x_{2}= frac{-1+3}{2}=1$
$S= intlimits^1_{-2} {(2- x^{2} -x)} , dx =2x- frac{x^{3}}{3} - frac{x^{2}}{2} |^{1}_{-2}$ = $2- frac{1}{3} - frac{1}{2} -(-4+ frac{8}{3} - 2)=2- frac{1}{3} - frac{1}{2}+4-frac{8}{3}+2$ = $8-3-0.5=4.5$