Question

Найти первые 50 членов двух арифметических прогрессий 2, 7, 12, ... и 3, 10, 17, ..., которые одинаковы в обеих прогрессиях и найти их сумму S. В ответ записать S/100.

Answer 1

для первой прогрессии
$a_1=2;a_=7;a_3=12$
$d=a_2-a_1=7-2=5$
$a_n=a_1+(n-1)*d=2+5(n-1)=2+5n-5=5n-3$

для второй прогрессии
$A_1=3;A_2=10;A_3=17$
$D=A_2-A_1=10-3=7$
$A_k=A_1+(k-1)*D=3+7(k-1)=7k-7+3=7k-4$

$5n-3=7k-4$
$7k-5n=1$
нужно решить диофантовое уравнение от двух переменных в натуральных числаъ
получим
простым перебором находим "минимальное" решение в натуральных числах
7*3-5*4=1
$k_0=3;n_0=4$
$k=3+5l$
$n=4+7l$
где l є N $cup$ {0}

тогда формула искомых чисех
$a_n=5*(4+7l)-3=20+35l-3=17+35l$
$A_n=7*(3+5l)-4=21+35l-4=17+35l$
где l є N $cup$ {0}[/tex]
первый член равен
$L_1=17+35*0=17$
50-й член равен
$L_{50}=17+35*(50-1)=1732$
Сумма первых 50-ти равна
$S=frac{L_1+L_{50}}{2}*50=frac{17+1732}{2}*50=43725$
$frac{S}{100}=frac{43725}{100}=437.25$
----
более просто можно было на первых членах проследить появление первого члена 17 и заметить что разность последовательности образованной с двух данных тоже является арифмитической прогрессией с разностью равной 35