Question

Решить уравнение 4cos^2x+4sinx-1=0

Answer 1

4-4sin^2x+4sinx-1=0
3-4sin^2x+4sinx=0
4sin^2x-4sinx-3=0
sinx=(2+-4)/4
sinx=-1/2
x=(-1)^(k+1)П/6+Пk

Answer 2

4cos²x+4sinx-1=0

4(1-sin²x)+4sinx-1=0
4-4sin²x+4sinx-1=0

-4sin²x+4sinx+3 = 0 |*(-1)

4sin²x-4sinx-3=0

Пусть sin x = t ( |t|≤1),  тогда имеем

$4t^2-4t-3=0 \ a=4;b=-4;c=-3 \ D=b^2-4ac=(-4)^2-4*4*(-3)=16+48=64 \ sqrt{D}=8 \ t_1= frac{-b+ sqrt{D} }{2a} = frac{4+8}{2*4} = frac{12}{8} =1.5 \ t_2=frac{-b- sqrt{D} }{2a} = frac{4-8}{2*4}=- frac{1}{2}$

t₁ = 1.5 - не удовлетворяет условию при |t|≤1

Обратная замена

$sin x = -frac{1}{2} \ x=(-1)^k*arcsin(-frac{1}{2} )+ pi k \ x=(-1)^k^+^1* frac{ pi }{6} + pi k$

Ответ: $(-1)^k^+^1* frac{ pi }{6} + pi k$.