Question

Найдите произведение иррациональных корней уравнения (х^2-6х)^2-2(х-3)^2=81

Answer 1

$(x^2-6x)^2-2(x-3)^2=81$
$(x^2-6x)^2-2(x^2-6x+9)=81$
$(x^2-6x)^2-2(x^2-6x)-18-81=0$
$(x^2-6x)^2-2(x^2-6x)-99=0$
делаем замену
$x^2-6x=t$
$t^2-2t-99=0$
$(t-11)(t+9)=0$
$t-11=0;t_1=11$
$t+9=0;t_2=-9$
возвращаемся к замене

первЫй случай
$x^2-6x=11$
$x^2-6x-11=0$
$D=(-6)^2-4*1*(-11)=36+44=80$ -
дискриминант больше 0 - значит уравнение имеет два корня, так как не является точным квадратом - корни будут иррациональными
по теореме Виета их произведение равно -11

второй случай
$x^2-6x=-9$
$x^2-6x+9=0$
$(x-3)^2=0$
$x-3=0; x_{3,4}=3$- рациональный корень - не рассматриваем во внимание
отвте: -11