Question

найти точки максимума минимума функции $y=sin^{4}x+cos^{4}x$

Answer 1

y=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=1-1/2(sin2x)^2
y'=-2sin2xcos2x=-sin4x
4x=Пk
x=Пk/4
y''=-4cos4x
y''(П/4)=-4cosП=4>0  минимум
y''(П/2)=-4cos2П=-4< максимум
x=П(2k+1)/4- минимум
x=Пk/2- максимум

Answer 2

Вариант решения без второй производной

y=sin⁴x+cos⁴x
находим производную и приравниваем ее к нулю
y'=4sin³x cosx-4sinx cos³x
y'=4sinx cosx(sin²x-cos²x)
y'=-2sin2x(cos²x-sin²x)
y'=-2sin2x*2cos2x=-2sin4x
-2sin4x=0
sin4x=0
4x=πk
x=πk/4
Определяем знаки интервалов
       -           +          -              +          -            +
₀----------₀---------₀----------₀----------₀----------₀----------₀------------->
0           π/4      2π/4        3π/4     4π/4
При переходе от минуса к плюсу имеем минимум, от плюса к минусу - максимум функции.
Ответ:
точки минимума π(k+1)/4; точки максимума πn/4; k,n∈Z