Question

найти площадь фигуры ограниченной линиями
1) у=2х-х^2
у=0
2)х^3+1
x=0 
x=2
3)y=x^2+4
x=2
x=-2
y=0
4)
y=x^3
x=1
x=-1
y=0
 

Answer 1

1)
$y=2x-x^2 \ y=0 \ \ 2x-x^2=0 \ x(2-x)=0 \ x=0 \ x=2 \ \ intlimits^{2}_{0} {(2x-x^2)} , dx = frac{2x^2}{2} - frac{x^3}{3} |^{2}_{0}= \ \ =(frac{2*2^2}{2} - frac{2^3}{3})-(frac{2*0^2}{2} - frac{0^3}{3})= \ \ =4 - frac{8}{3}= frac{4*3-8}{3} = frac{12-8}{3} = frac{4}{3} =1,33333$


2)
$y=x^3+1 \ x=0 \ x=2 \ \ intlimits^{2}_{0} {(1+x^3)} , dx =x+ frac{x^4}{4} |^{2}_{0}=(2+ frac{2^4}{4})-(0+ frac{0^4}{4})=2+ frac{16}{4}=2+4=6$


3)
$y=x^2+4 \ x=2 \ x=-2 \ y=0 \ \ intlimits^{2}_{-2} {(4+x^2)} , dx =4x+ frac{x^3}{3} |^{2}_{-2}=(4*2+ frac{2^3}{3})-(4*(-2)+ frac{(-2)^3}{3})= \ \ =(8+ frac{8}{3})-(-8+ frac{-8}{3})=(frac{3*8+8}{3})-(frac{3*(-8)+(-8)}{3})= \ \ =(frac{24+8}{3})-(frac{(-24)+(-8)}{3})=frac{32}{3}+frac{32}{3}= frac{64}{3} =21,3333$


4)
$y=x^3 \ x=1 \ x=-1 \ y=0 \ \ intlimits^{1}_{-1} {|x^3|} , dx = frac{x^4}{4} |^{1}_{-1}=(frac{1^4}{4})+(frac{(-1)^4}{4})= \ \ =frac{1}{4}+frac{1}{4}= frac{1}{2}$