Question

В прямоугольный треугольник ABC вписан квадрат AEKM так, что точка K лежит на гипотенузе, а E и M — на катетах. Сторона этого квадрата относится к радиусу круга, вписанного в треугольник ABC, как (2+корень из 2)/2. Найдите углы треугольника.

Ответ в задаче: 45 градусов, 45 градусов, 90 градусов. Нужно полное решение. Спасибо

Answer 1

 Пусть сторона квадрата равна  $y$ 
 Тогда $(a-y)^2+y^2=BK^2\ (b-y)^2+y^2=CK^2$ 
Гипотенуза  $sqrt{(a-y)^2+y^2}+sqrt{(b-y)^2+y^2}=sqrt{a^2+b^2}$ 
 Откуда $y=frac{ab}{a+b}$  
Радиус равен по формуле $r=frac{a+b-sqrt{a^2+b^2}}{2}$ 
 $frac{y}{r}=frac{sqrt{a^2+b^2}}{a+b}+1=frac{2+sqrt{2}}{2}\ frac{sqrt{a^2+b^2}}{a+b}=frac{sqrt{2}}{2}\ 4(a^2+b^2)=2(a+b)^2\ 2(a-b)^2=0\ a=b$
 То есть треугольник равнобедренный , $frac{180-90}{2}=45$