Question

Вычислить длину дуги одной арки циклоиды x=a(1-sin(t)), y=a(1-cos(t)), (t от 0 до 2пи)

Answer 1

Вычислим производные
x'=a(1-cost)
y'=a sint
Формула длины линии
$L= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(x')^2+(y')^2} } , dt= intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(x')^2+(y')^2} } , dt= \ = intlimits^{2 pi} _0 { sqrt{(a(1-cost))^2+(a ,sint)^2} } , dt= \ =intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{1-2,cost+cos^2t+sin^2t} } , dt= \ =intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{2(1-,cost)} } , dt =intlimits^{2 pi} _0 {a sqrt{2(2sin^2 frac{t}{2} )} } , dt= \ =2aintlimits^{2 pi} _0 {sin frac{t}{2}} } , dt=-4acosfrac{t}{2}}|_0^{2 pi }=-4acos pi +4acos0=8a$

Ответ: 8а