Question

Помогите решить уравнение из комбинаторики.

Answer 1

$4 C _{x+2} ^{x-1} =A _{x } ^{3}$
Применяем формулы для вычисления числа сочетаний и размещений:
$C _{n} ^{k} = frac{n!}{(n-k)!k!} \ A _{m} ^{k} = frac{m!}{(m-k)!}$

$4 frac{(x+2)!}{(x+2-x+1)!(x+1)!} = frac{x!}{(x-3)!}$

Из условия задачи следует, что x>=3
х!= 1·2·3·...· (х-3)(х-2)(х-1)·х   Легко заметить
что х!=(х-3)!(х-2)(х-1)х
(х+2)!=(х-1)!(х)(х+1)(х+2).
$4frac{x(x+1)(x+2)}{3!} =(x-2)(x-1)x$
Решаем квадратное уравнение:
$frac{2}{3} ( x^{2} +3x+2)= x^{2} -3x+2 \ frac{1}{3} x^{2} -5x+ frac{2}{3}=0 \ x^{2} -15x+2=0$
Уравнение не имеет корней в натуральных числах. Корни иррациональные.