Question

Ряд исследовать на сходимость

Answer 1

$Sigma frac{(-1)^{n}n}{n^2+2}$

Cоставим ряд из модулей и исследуем его

$Sigma frac{n}{n^2+2},$

Этот ряд сравним с гармоническим расходящимся  рядом  $Sigma frac{n}{n^2}=Sigma frac{1}{n}$
По признаку сравнения имеем:

$lim_{nto infty}frac{n}{n^2+2}:frac{1}{n}=limfrac{n^2}{n^2+2}=1ne 0$

Оба ряда расходятся, значит нет абсолютной сходимости.
Проверим на условную сходимость по признаку Лейбница:

$1); a_1>a_2>a_3>...\\frac{1}{3} geq frac{2}{6}>frac{3}{11}>frac{4}{18}>...\\2); lim_{nto infty}a_{n}=0\\lim_{nto infty}frac{n}{n^2+2}=limfrac{n}{n^2}=limfrac{1}{n}=0\\(n^2+2approx n^2; pri; nto infty)$

Признак Лейбница выполняется, оба его условия, значит знакочередующийся ряд сходится условно.