Question

В трапеции ABCD с основаниями AB=30 CD=24, диагонали пересекаются в точке Е . Известно , что AD =4*корень из 3 , а угол DAB=60 градусов.Найти площадь треугольника BCE .Найти утроенный квадрат расстояния от точки Е до прямой AD

Answer 1

Опустим высоту из вершины    $D$ , получим прямоугольный треугольник    $ADH$ ,  откуда 
 Высота $DH=4sqrt{3}*sin60=6$ 
 Найдем длину диагонали 
 $DB=sqrt{(4sqrt{3})^2+30^2-2*4sqrt{3}*30*cos60}=sqrt{948-40sqrt{27}}$ 
  
Треугольники $DEC;AEB$ подобны , 
 $frac{DE}{DB-DE}=frac{24}{30}\ frac{DE}{sqrt{948-40sqrt{27}}-DE}=frac{4}{5}\ DE=frac{8}{3}sqrt{frac{79}{3}-frac{10}{sqrt{3}}$ 
$AC=sqrt{(4sqrt{3})^2+24^2-2*4sqrt{3}*24*cos120} = sqrt{32sqrt{27}+624}$ 
$frac{EC}{sqrt{32sqrt{27}+624}-EC} = frac{4}{5} \ EC=frac{16}{3}sqrt{frac{13}{3}+frac{2}{sqrt{3}}$ 
   Площадь трапеции 
    $frac{24+30}{2}*6=162$ 
 $S=frac{AC*DB}{2}*sinADEA = 162\ AC=sqrt{32sqrt{27}+624}\ DB=sqrt{948-40sqrt{27}}\ sinDEA=frac{324}{sqrt{948-40sqrt{27}}*sqrt{32sqrt{27}+624}}$ 
    $S_{BCE}=S_{AED}\ S_{BCE}=frac{DE*AE}{2}*sinDEA=frac{frac{8}{3}sqrt{frac{79}{3}-frac{10}{sqrt{3}}}*sqrt{32sqrt{27}+624}-frac{16}{3}sqrt{frac{13}{3}+frac{2}{sqrt{3}}}}{2}$$*sinDEA=40$ 
  Расстояние   $4sqrt{3}*x*0.5=40\ x=frac{20}{sqrt{3}}=frac{20*sqrt{3}}{3}$     

Ответ  утроенный квадрат равен $3*frac{400*3}{9} = 400$
Ответ площадь треугольника равна   $40$