Question

$19^{8^7}$ Найдите последние три цифры числа

Answer 1

 Три последние цифры ,  если рассматривать задачу как нахождение остатка , то  это задача на нахождения остатка    на$1000$. 
 $19^{8^7}equiv abc mod(1000)$ 
 Удобно воспользоватся теоремой Эйлера, для упрощения числа. 
 $phi(1000)=phi(5^3*2^3)=100*4=400$ 
 То есть 
 $19^{400}equiv 1 mod (1000)$
 Сама теорема, если $a,m$ простые числа то 
 $a^{phi(m)}equiv1$ $mod m$ . 
 $phi(m)$ функция Эйлера .  
 Теперь найдем остатком от     $frac{8^7}{400}=frac{2^{17}}{25}$ 
 то есть 
   $2^{17}equiv x mod(25)\ x=22$  
  то есть сам остаток равен    $22*16=352$   , итого получаем    что число 
     $8^7=(400*x+352)\ 19^{400x+352}=19^{400x}*19^{352}$ 
     Так как      $19^{400}equiv 1 mod 1000$   
  То  задача эквивалента нахождению остатка  от число 
 $19^{352}=x mod 1000$    
 $frac{19^{350}*19^2}{2^3*5^3}$    число 
 $19$  всегда оканчивается на  $1$   учтем ,     используя опять теореме Эйлера получим 
   $19^{350}equiv=1\ mod 1000$ ,    тогда сам остаток равен 
   $19^2=361$
 
 
 
 
Ответ $361$
   
    

Answer 2

для начала посчитаем показатель степени $8^{7} =2097152$
последние три цифры в числе повторяются всегда при увеличении показателя степени на 10. Поэтому достаточно показатель степени разделить на 10 и посмотреть остаток.
2097152:10 в остатке получим 2. Т.е. последние 3 цифры у числа$19^{8^7}$ будут такими же что и у числа $19^{2} =361$
Ответ: 361