Question

В треугольнике АВС высота ВД и медиана ВМ такие, что АМ=МВ и АД: ДС=7+4√3.Найти углы треугольника

Answer 1

    Положим что вершины треугольника равны $A,B,C$.  Обозначим угол 
 $ABM=a$ ,тогда $BAM=a$ ,  $MBC=b$ ,тогда $BCM=b$ .
 По теореме косинусов 
  $AB^2+BM^2-2AB*BM*cosa=BM^2\ AB^2-2AB*BM*cosa=0\ AB=2BM*cosa\\ BC^2+BM^2-2BC*BM*cosb=BM^2\ BC=2BM*cosb\\ frac{AB}{BC}=frac{cosa}{cosb}$ 
 Площадь треугольника равна   
 $frac{2AM*BD}{2}=frac{AB*2AM*sina}{2}\ frac{2AM*BD}{2}=frac{BC*2AM*sinb}{2}\\ AM*BD=AB*AM*sina\ AM*BD=BC*AM*sinb \\ BD=AB*sina\ BD=BC*sinb\\ AD=AB*cosa\ DC=BC*cosb\\ frac{AB*cosa}{BC*cosb}=7+4sqrt{3}\\ AB=frac{ BC*cosa }{cosb}\ a+b=90\\ frac{frac{BC*cos^2a}{cosb}}{BC*cosb}=7+4sqrt{3}\ frac{cos^2a}{cos^2b}=7+4sqrt{3}\ a+b=frac{pi}{2}\\ frac{cos^2(frac{pi}{2}-b)}{cos^2b} = 7+4sqrt{3}\ tg^2b=7+4sqrt{3} \ tgb=sqrt{7+4sqrt{3}}\ tgb=2+sqrt{3}$ 
     
 
  
 $frac{5pi}{12}=75\ 90-75=15$
 
 то есть углы равны $90;75;15$