Question

в прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов на отрезки 5 см и 10 см. Найдите площадь этого треугольника

Answer 1

Точка  касаниия  окружности,  вписанной  в  прямоугольный  треугольник  делит катет  на  отрезки  длиной  5см  и  10м,  считая  от  вершины.
Пусть  в  прямоугольном  треугольнике  АВС  вписанная  окружность  касается  гипотенузу  АВ  в  точке  М,  катет  ВС в  точке  К,  катет  АС  в  точке  Т.
Тогда  КС = СТ = 5см,  ВК = ВМ  = 10см  и  АМ = АТ  как  касательные  проведённые  из  одной  точки. 
Пусть  АМ = АТ = х,  тогда  АВ  =  х + 10, АС  =  х + 5.     
Применим  теорему  Пифагора: АВ²  =  AC²  +  BC² 
(x  +  10)²  =  (x  + 5)²  +  15² 
х²+20х+100=х²+10х+25+225
10х=150
х=15
Тогда АВ=25,  АС=20, ВС=15
Площадь треугольника по формуле Герона:
р=1/2(25+20+15)=30
S=√30*(30-25)(30-20)(30-15)=√30*5*10*15=150