Question

В прямоугольный треугольник вписан квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Найти длину большого катета треугольника, если разность длин его катетов равна 1, а периметр квадрата равен 48/7

Answer 1

Рассмотрим ΔAEB и ΔEBF. Они подобны, поскольку все их углы равны (углы EFB и ACB прямые, а остальные попарно образованы параллельными прямыми, пересекающими третью).
Тогда можно записать пропорцию: AD/EF=ED/BF.  (1)
Из чертежа AD=b-n; EF=n; ED=n; BF=a-n
Подставляя в (1) получим (b-n)/n=n/(a-n)  (2)
Из условия задачи a=b-1
Периметр квадрата равен 4n, а по условию он равен 48/7, тогда n=12/7
Решим уравнение (2) относительно b - длины большего катета.
$frac{b-n}{n}= frac{n}{b-n-1}; (b-n)(b-n-1)=n^2; \ b^2-bn-b-bn+n^2+n=n^2; b^2-2bn-b+n=0; \ b^2-(2n+1)b+n=0; \ D=(2n+1)^2-4n=4n^2+4n+1-4n= 4n^2+1; \ n= frac{12}{7} to D=4*( frac{12}{7})^2+1= frac{4*144+49}{7^2}= frac{25^2}{7^2}=( frac{25}{7})^2; \ b= frac{1}{2}*(2n+1mp frac{25}{7})= frac{1}{2}*(2* frac{12}{7} +1mp frac{25}{7})=frac{1}{2}*(frac{31}{7}mp frac{25}{7})= frac{31mp 25}{14}; \ b_1= frac{3}{7}; b_2=4$
Значение b=3/7 не имеет геометрического смысла, поскольку получается, что b<n.
Остается ответ b=4.