Question

Основание пирамиды – правильный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания. Третья грань является равнобедренным треугольником, боковая сторона и основание которого образуют угол, тангенс которого равен 2. Высота пирамиды равна . Найти объем пирамиды.

Answer 1

Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС=АС.
$SB perp (ABC)$

Пусть сторона основания равна а, высота пирамиды h.
Из прямоугольных треугольников SBA и SBC найдем боковые стороны равнобедренного треугольника SA=SB=√(a²+h²)
Найдем высоту SK равнобедренного треугольника SAC

SK²=(√a²+h²)²-(a2)²=√(3a²/4  + h²)

tgSAC=SK|AK

2=√((3a²|4+h²): a|2

a=√(3a²/4  + h²)

решаем это уравнение. Возводим  в квадрат

a²=3a²|4 + h²
a²|4=h²

a|2=h, a=2h

V=1|3 S·h=1|3 (2h)²·√3|4·h=h³|√3

при h=6√3  V=588 куб ед