Question

В конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объём конуса,если объём шара равен 8

Answer 1

a-сторона сечения,а=2R-радиус основания
V=4/3*r³-радиус шара
4/3r³=8⇒r=∛(6/π)
a=2√3*r=2√3*∛(6/π)
R=√3*∛(6/π)
hк=asin60=2√3*∛(6/π)*√3/2=3*∛(6/π)
V=1/3*Sосн *h=1/3*πR²*h
V=1/3*π*3*∛(6/π)²*3∛(6/π)=3π*∛(6/π)³=3π*6/π=18

Answer 2

Обьем шара V=4/3*пиR³, R³=3V/4пи=3*8/4пи=6/пи.
Т.к. центр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится в точке пересечения медиан, то высота конуса равна h=3R.
Радиус окружности в основании конуса r=R√3.
Обьем конуса Vk =1/3 пиr²h=1/3 пи(R√3)²3R=3пиR³=3пи*6/пи=18