Question

По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 10 до 21. Для каждой из двенадцати пар соседних чисел нашли их наибольший делитель.А) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители равны 1?Б) Могло ли получиться так, что все наибольшие общие делители попарно различны?С) Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей могло при этом получиться?

Answer 1

a) Очевидно   что это все числа от 10  до 21   идущие по порядку
10,11,12,13,14.....21,10........   любык 2 числа отличающиеся на 1   имеют общий делитель 1, нужно только проверить  что 10  и 21   имеют  нок1 что  является верным
2)Нет такого  быть  не могло тк   в этом   списке   есть  простые числа   такие  как 
17,такие   числа имеют  только 2 делителя  17  и 1
А  тогда  с 2  соседними  с ней   числами оно  может  иметь  наибольшие общие  делители только 17  или 1,но  общий   делитель 17  у  числа 17  может быть  либо у  числа  34  и  более что  больше 21,или  у самого числа 17,но  тк  число  записывается  только 1  раз,то  с обоих сторон у  него  будет  делитель 1,а  тогда схожие  наибольшие общие делители  существуют.
3) Максимальное  число  попарно  различных  наибольших общих   делителей,будет  если   собрать в одну   стопку   все  простые  числа,тогда  они забирут  наименьшее  число  возможных  пар  различных делителей,то  в  каком порядке в этой  стопке  мы их  будем распологать  нам  абсолютно  не важно,тк  будут  абсолютно  анологичные наибольшие  общие делители равные 1.
тк  если 11  наименьшее  простое 11*2=22>21,то  в любом   случае будет только 1.                11,13,17,19,......       Остальные   числа нужно    попытатся расположить так чтоб все наибольшие делители различались
10,12,14,15,16,18,20,21  Нам нужно   добится чтоб единиц было наименьшее количество и чтоб не   было одинаковых общих делителей. 14,21,18,12,16,10,20,15      кажется  удалось  избежать единичек !!! проверим:
Нод(14,21)=7
Нод(21,18)=3
Нод(18,12)=6
Нод(12,16)=4
Нод(16,10)=2
Нод(10,20)=10
Нод (20,15)=5      Всего  7  попарно  различных  общих делителей  ,если  включить  еще 1 ,то  получим  всего 8  попарно  различных делителей
Ответ:8

Answer 2

То есть наибольше всего пар будет если числа расположить так 11,13,17,19,14,21,18,12,16,10,20,15,11,13.... и так бесконечно по кругу причем не важно как распологать числа 11,13,17,19 важно лишь чтоб они были в одной группе