Question

В треугольнике АВС, АВ=1, ВС=√2. Биссектрисы АР и СМ пересекаются в точке О. угол АОС/ угол АВС = 5:2. Найти АС.

Answer 1

Обозначим
$angle OAC=angle OAB=angle 1, \ angle OCA=angle BCO=angle2.$

Сумма углов треуголника АОС равна 180⁰:
$angle1+angle2+5 alpha =180 ^{o} , \ 2cdot angle1+2cdotangle2=360 ^{o} -10 alpha ,$

Сумма углов треугольника АВС равна 180⁰:

$2cdotangle1+2cdotangle2+2 alpha = 180 ^{o}, \ 360 ^{o}-10 alpha +2 alpha =180 ^{o} , \ 8 alpha =180 ^{o}, \ alpha = frac{45 ^{o} }{2}, \ 2 alpha =45 ^{o}$

По теореме косинусов: АС²=1²+(√2)²-2·1·√2·cos45⁰=1+2-2=1,
АС=1
Ответ. АС=1