Question

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям. y''-4y'=6x^2+1 y(0)=2, y'(0)=3

Answer 1

y``-4y`=6x^2+1, y(0)=2, y`(0)=3
Преобразования Лапласа
y``(x)--⇒p^2Y(p)-p*y(0)-y`(0)
y``(x)--⇒p^2Y(p)-2p-3
y`(x)--⇒pY(p)-y(0)
y`(x)--⇒pY(p)-2
x^2--⇒2/p^3
1--⇒1/p
p^2Y(p)-2p-3-4(pY(p)-2)=12/p^3+1/p
p^2Y(p)-2p-3-4pY(p)+8=12/p^3+1/p
p^2Y(p)-4pY(p)=12/p^3+1/p+5p+3
Y(p)(p^2-4p)=(12+p^2+5p^4+3p^3)/p^3
Y(p)=(5p^4+3p^3+p^2+12)/p^3(p^2-4p)
Y(p)=(5p^4+3p^3+p^2+12)/p^4(p-4)
5p^4+3p^3+p^2+12=Ap^4+Bp^3(p-4)+Cp^2(p-4)+Dp(p-4)+E(p-4)
5p^4+3p^3+p^2+12=Ap^4+B(p^4-4p^3)+C(p^3-4p^2)+D(p^2-4p)+E(p-4)
отсюда 
A=-3 B=-3/4 C=-7/16 D=-55/64 E=73/64
5p^4+3p^3+p^2+12=-3/p^4-3/4p^3-7/16p^2-55/64p+73/64(p-4))
Обратное преобразование Лапласа
1/p^4--⇒x^3/6
1/p^3---⇒x^2/2
1/p^2--⇒x
1/p--⇒1
1/(p-4)--⇒e^4x
Y(p)=-x^3/2-3x^2/8-7x/16-55/64+73e^4x/64