Question

у трикутнику АВС проведено висоти АА1, ВВ1, СС1. Відомо, що АА1+ВВ1+СС1=0(вверху стрелки). Доведіть, що трикутник АВС правильний.

Answer 1

Позначимо D і E проекції точок C₁ і D₁ на пряму AC. Тоді з рівності 

B₁B = -BB₁=AA₁+CC₁ для проекцій на пряму АС одержимо рівність:

AE +CD =0. Оскільки AE = AD + DE і CD = CE + DE, знаходимо що AD + CE =0, тобто  AD = EC. Звідси, |AD| = |EC|.
 
 З прямокутних трикутників AC₁D і ACC₁, маємо: |AD| = |AC| *cos²∠ A;

|EC| = |AC| *cos²∠ C. Оскільки |AD| = |EC|,то cos²∠ A=cos²∠ C. Аналогічно доводиться, що cos²∠ A = cos²∠ B.

Звідси випливає що ∠ A=∠ B=∠ C, тобто трикутник АВС - правильний.

Що й треба було довести.