Question

Дан треугольник АВС.На стороне ВС взята точка Р, а на стороне АС взята точка М так,что  <АРМ=<ВМА=$frac{ pi }{4}$ . Отрезки АР и ВМ пересекаются в точке О.Известно,что площади треугольников ВОР и АОМ равны между собой . ВС=1см ВО=$frac{ sqrt{2} }{2}$ см.Найти площадь треугольника АВС.

Answer 1

Треугольники BOP и AOM подобны по двум углам.  k²=SBOP/SAOM=1 — их коэффициент подобия.  Следовательно, треугольники BOP и AOM равны. угол ОВР= углу ОАМ, ОА=ОВ⇒угол ОАВ= углу ОВА⇒угол АВС=углу ВАС⇒ треугольник АВС- равнобедренный, АС=ВС. Следовательно, MP || AB. И треугольники АСВ,  МСР и РОМ, АОВ- подобны.
Пусть РО=МО=х, тогда из пропорции: МС/АС=MP/AB=MO/AB=x/(√2/2)=x√2⇒
MC = AC·x√2 = x√2
по т. Косинусов из треугольника ВМС
BC² = MC² + MB² - 2MC . MB cos135
Получим уравнение: 10х²+4х√2-1=0⇒х=√2/10
Тогда МВ=3√2/5, МС=1/5
SABC = 5/4SAMB=3/10