Question

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты соответственно точки К и P так, что AK : KB = 1 : 2, CP : PB = 2 : 1. Прямые AP и CK пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BEC равна 4.

Answer 1

Опустим прямую $BD$ так чтобы она пересекала точку $E$ , по теорема Ван Обеля и Чевы соответственно получаем 
$frac{BE}{ED} = frac{2}{1}+frac{1}{2}\ frac{BE}{ED} = frac{5}{2}\ frac{1}{2}*frac{1}{2}*frac{DC}{AD}=1 \ frac{DC}{AD}=4$ 
$frac{EC}{EK} = frac{2}{1}+4 = 6$         
 
$S_{BEC} =frac{5a*3y*sinBDC}{2} = 4\ S_{BDC} = frac{7a*3y*sinBDC}{2}=frac{28}{5}\ S_{DEC} = frac{28}{5}-4 = frac{8}{5}\ S_{DEC} = frac{6b*4z*sinKCA}{2} = frac{8}{5}\ S_{KCA} = frac{7b*5z*sinKCA}{2} = frac{7}{3} \ S_{KEAD} = frac{7}{3} - frac{8}{5} = frac{11}{15}\ S_{KEAD} = frac{3x*7a *sinABD}{2} - frac{2x*5a*sinABD}{2}= frac{11}{15} \ S_{ABD} = frac{3x*7a*sinABD}{2} = frac{21ax*sinABD}{2} = frac{21}{15}\ S_{ABC} = frac{21}{5} + frac{28}{5} = 7$ 
 
  
ответ $7$ 
 
 Есть более короткое решение по теореме МЕНЕЛАЯ 
  $frac{AP}{PE} = frac{7}{4}$ , тогда площадь треугольника 
 $frac{7}{4}*4=7$